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三角函数专题训练

数学  加入时间:2013-04-02  江涛  点击:2696  评论数:

 

               三角函数专题训练
江涛
一、选择题
1.函数y=cos(x+),x∈[0,]的值域是(  )
A.(-,]        B.[-,]
C.[,] D.[-,-]
答案 B
解析 x∈[0,],x+∈[,π],∴y∈[-,].
2.如果|x|≤,那么函数f(x)=cos2x+sinx的最小值是(  )
A. B.-
C.-1 D.
答案 D
解析 f(x)=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+,当sinx=-时,有最小值,ymin=-=.
3.已知函数f(x)=sin(πxθ)cos(πxθ)在x=3时取得最小值,则θ的一个值可以是(  )
A.- B.-
C. D.
答案 B
解析 f(x)=sin(2πx+2θ),
f(3)=sin(6π+2θ)=sin2θ
此时sin2θ=-1,2θ=2-,
θ-(kZ).
4.函数y=12sin(2x+)+5sin(-2x)的最大值是(  )
A.6+ B.17
C.13 D.12
答案 C
解析 y=12sin(2x+)+5cos[-(-2x)]
=12sin(2x+)+5cos(2x+)
=13sin(2x++φ)(φ=arctan),故选C.
5.当0<x<时,函数f(x)=的最小值是(  )
A. B.
C.2 D.4
答案 D
解析 f(x)=
=,当tanx=时,
f(x)的最小值为4,故选D.
6.在△OAB中,O为坐标原点,A(1,cosθ),B(sinθ,1),θ∈(0,],则当△OAB的面积达到最大值时,θ等于(  )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 
如图θ=-α
S=1-×1×sinα-×1×cosα-(1-cosα)(1-sinα)
=-sinαcosα
=-sin2α=-sin2θ
∴当θ=时,S取到最大值.故选D.
7.已知f(x)=,下列结论正确的是(  )
A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值
C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
答案 B
解析 令t=sinxt∈(0,1],则y=1+,t∈(0,1]是一个减函数,则f(x)只有最小值而无最大值.另外还可通过y=1+,得出sinx=,由sinx∈(0,1]也可求出,故选B.
二、填空题
8.函数y=sin2x+2cosx在区间[-πα]上最小值为-,则α的取值范围是________.
答案 (π]
解析 y=2-(cosx-1)2,当x=-π时,y=-,根据函数的对称性x∈(-π,].
9.函数y=sinx+cosx在区间[0,]上的最小值为________.
答案 1
解析 y=sinx+cosx=2sin(x+),x∈[0,].
x+∈[,],∴ymin=2sin=1.
10.函数y=+的最小值是________.
答案 32
解析 y=+=+=3++≥3+2
ymin=3+2.
三、解答题
11.(2011·烟台质检)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2xm).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间;
(2)当x∈[0,]时,f(x)的最大值为4,求m的值.
解析 ∵(1)f(x)=2cos2x+sin2xm=2sin(2x+)+m+1,
∴函数f(x)的最小正周期T==π.
在[0,π]上的单调递增区间为[0,],[,π].
(2)当x∈[0,]时,∵f(x)单调递增,
∴当x=时,f(x)取得最大值为m+3,即m+3=4,
解之得m=1,∴m的值为1.
12.(2010·北京卷)已知函数f(x)=2cos 2x+sin2 x-4cos x.
(1)求f()的值;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
解析 (1)f()=2cos+sin2-4cos
=-1+-2=-.
(2)f(x)=2(2cos2 x-1)+(1-cos2 x)-4cos x=3cos2 x-4cos x-1=3(cos x-)2-,xR
因为cos x∈[-1,1],所以,当cos x=-1时,f(x)取最大值6;当cos x=时,f(x)取最小值-.
13.(2010·湖北卷)已知函数f(x)=cos (+x) cos (-x),g(x)=sin 2x-.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合.
解析 (1)f(x)=cos(+x)cos(-x)=(cos x-sin x)(cos x+sin x)=cos2x-sin2x=-=cos 2x-,
f(x)的最小正周期为=π.
(2)h(x)=f(x)-g(x)=cos 2x-sin 2x=cos(2x+),
当2x+=2(kZ)时,h(x)取得最大值.
h(x)取得最大值时,对应的x的集合为{x|x-,kZ}.
 


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